Matematica discreta Esempi

$\frac{4}{x + 4} + \frac{2}{x + 5} = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 4, x + 5, (x + 4) (x - 5)$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $x + 4$ è $x + 4$ stesso.

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $x + 5$ è $x + 5$ stesso.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il fattore di $x + 4$ è $x + 4$ stesso.

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il fattore di $x - 5$ è $x - 5$ stesso.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.9

Il minimo comune multiplo di $x + 4, x + 5, x + 4, x - 5$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 4) (x + 5) (x - 5)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ ciascun termine in $\frac{4}{x + 4} + \frac{2}{x + 5} = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4}{x + 4} + \frac{2}{x + 5} = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)}$ per $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{4}{x + 4} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $x + 4$ da $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{4}{x + 4} ((x + 4) ((x + 5) (x - 5))) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{x + 4} ((x + 4) ((x + 5) (x - 5))) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 ((x + 5) (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.2

Espandi $(x + 5) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (x - 5) + 5 (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.3

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 5$ e $5 x$ .

$4 (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$4 (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.3.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$4 (x \cdot x + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 (x^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.4.2

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$4 (x^{2} - 25) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 4 \cdot - 25 + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 25$ .

$4 x^{2} - 100 + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.7

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.7.1

Scomponi $x + 5$ da $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$4 x^{2} - 100 + \frac{2}{x + 5} ((x + 5) ((x + 4) (x - 5))) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} - 100 + \frac{2}{x + 5} ((x + 5) ((x + 4) (x - 5))) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} - 100 + 2 ((x + 4) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.8

Espandi $(x + 4) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 100 + 2 (x (x - 5) + 4 (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 100 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 100 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.9.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.9.1.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} - 5 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 5) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.9.1.3

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} - 5 x + 4 x - 20) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.9.2

Somma $- 5 x$ e $4 x$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} - x - 20) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 100 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 20 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 20 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.1.11.2

Moltiplica $2$ per $- 20$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 x^{2} - 2 x - 40 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 100 - 2 x - 40 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $40$ da $- 100$ .

$6 x^{2} - 2 x - 140 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $(x + 4) (x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $(x + 4) (x - 5)$ da $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$6 x^{2} - 2 x - 140 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x - 5) (x + 5))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} - 2 x - 140 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x - 5) (x + 5))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$6 x^{2} - 2 x - 140 = 18 (x + 5)$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 140 = 18 x + 18 \cdot 5$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $18$ per $5$ .

$6 x^{2} - 2 x - 140 = 18 x + 90$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $18 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} - 2 x - 140 - 18 x = 90$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $18 x$ da $- 2 x$ .

$6 x^{2} - 20 x - 140 = 90$

Passaggio 3.2

Sottrai $90$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} - 20 x - 140 - 90 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $90$ da $- 140$ .

$6 x^{2} - 20 x - 230 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $6 x^{2} - 20 x - 230$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 20 x - 230 = 0$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $- 20 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) - 230 = 0$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $- 230$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- 115) = 0$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 115) = 0$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 115)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x - 115) = 0$

Passaggio 3.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} - 10 x - 115) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} - 10 x - 115) = 0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 115)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 115)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $3 x^{2} - 10 x - 115$ per $1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 115 = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$3 x^{2} - 10 x - 115 = 0$

Passaggio 3.6

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.7

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 10$ e $c = - 115$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 115)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 115}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 115$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 115}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 115$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 1380}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.3

Somma $100$ e $1380$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{1480}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.4

Riscrivi $1480$ come $2^{2} \cdot 370$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.4.1

Scomponi $4$ da $1480$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (370)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 370}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{370}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{370}}{6}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{370}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{370}}{3}$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{5 + \sqrt{370}}{3}, \frac{5 - \sqrt{370}}{3}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{5 + \sqrt{370}}{3}, \frac{5 - \sqrt{370}}{3}$

Forma decimale:

$x = 8.07846135 \dots, - 4.74512802 \dots$